BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET

Untuk materi ini mempunyai 4 Kompetensi Dasar yaitu:
Kompetensi Dasar :

1. Menentukan pola barisan bilangan sederhana
2. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri
3. Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri
4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret

Barisan Dan Deret Aritmatika

Barisan Aritmetika

          (1) 3, 7, 11, 15, 19, ...
          (2) 30, 25, 20, 15, 10,...

Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
          Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
          Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U₁, U₂, U₃,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
        3, 7, 11, 15, 19, ...
Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka
       U₁ = 3 =+ 4 (0)

       U₂ = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
       U₃ = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
            ....
       U_n = 3 + 4(n-1)

Secara umum, jika suku pertama (U₁) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan

       U_n = a + b(n-1)

Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.

        U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
        U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

Deret Aritmatika

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U₁, U₂, U₃, ... barisan aritmetika. U_1, U₂, U₃, ... adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
      3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.S_n maka S dari deret di atas adalah :

Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah

Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah

jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah

Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus

Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri

Suatu barisan U₁, U₂, U₃, ....disebut barisan geometri jika perbandingan dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai perbandingan yang tetap itu disebut rasio.
Bagaimana cara menentukan suku ke-n tanpa harus menentukan semua suku sebelumnya?
Suatu barisan geometri disebut barisan geometri rurun jlka 0 < r < 1 dan disebut barisan geometri naik jika r > l.
Contoh :
Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri 4, 8, 16, ...!
Jawab :
Dari Barisan Geometri 4, 8, 16, ..., diperoleh suku pertama a = 4 dan rasio r = 2 sehingga
 

Deret Geometri

Bentuk penjumlahan dari barisan geometri U₁, U₂, U₃, ..., yaitu U₁ + U₂ + U₃ +... disebut deret geometri.
a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
Jumlah n suku


Keterangan:

• Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
• Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku

    Un > Un-1

• Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku

   Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
         _______     ________
U_t = √ U₁xU_n = √U₂ X U_n-1  ......dst.

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

KESEBANGUNAN BANGUN DATAR

A. Kesebangunan Dua Bangun Datar

Masih ingatkah kalian dengan bangun datar? Coba sebutkan bentuk bangun datar di sekitar kalian. Kita dapat menemukan bentuk-bentuk bangun datar dalam sebuah bangunan rumah. Misalnya jendela dan pintu berbentuk persegi panjang, lubang ventilasi berbentuk segitiga, dan ubin lantai berbentuk persegi. Disebut apakah bangun datar dengan bentuk dan ukuran yang sama? Bagaimana dengan syaratsyaratnya? Untuk lebih mengetahuinya, kita akan mempelajarinya pada bab Kesebangunan Bangun Datar ini.

1. Dua Bangun Datar yang Kongruen (Sama dan Sebangun)

Perhatikan gambar pencerminan bangun datar berikut.

Belah ketupat ABCD dicerminkan terhadap garis lurus l sehingga terbentuk bayangan belah ketupat A'B'C'D. AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D, DA = DA' dengan D tetap. Mengapa titik D tetap? Belah ketupat ABCD dan A'B'C'D memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Oleh sebab itu kedua bangun tersebut disebut kongruen atau sama dan sebangun. Ditulis ABCD = A'B'C'D.

Nah, dari kegiatan di atas kita peroleh syarat dua bangun datar yang kongruen, yaitu:

2. Dua Bangun Datar yang Sebangun

Pernahkah kalian melakukan pengamatan dengan menggunakan mikroskop? Pada pembesaran tertentu, kita dapat mengamati benda-benda yang sangat kecil ukurannya. Pengamatan tersebut dapat kita ilustrasikan sebagai berikut.

Dari gambar di atas, kita dapat melihat benda dengan bentuk sama tetapi ukuran yang berbeda. Perbedaan ukuran terjadi melalui pembesaran atau pengecilan objek dengan menggunakan perbandingan skala tertentu. Ketiga gambar tersebut dikatakan sebangun sebab perbandingan tiap sisinya sama.

Perhatikan gambar bangun datar berikut.

Δ ABC dan Δ DEF mempunyai bentuk yang sama, ukuran yang berbeda, tetapi sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sebanding. Dalam hal ini ditulis Δ ABC ~ Δ DEF. Dari gambar tersebut tampak bahwa dua bangun datar yang sebangun selalu memenuhi syarat:

3. Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut Dua Bangun Datar

a. Panjang Sisi dan Besar Sudut Dua Bangun Datar Kongruen

Mari kita ingat kembali syarat dua bangun datar yang kongruen. Dua bangun datar dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi:

Jika kita mempunyai dua bangun datar yang kongruen seperti di bawah ini,

Maka unsur-unsur yang belum diketahui besar dan panjangnya dapat dicari dengan memperhatikan syarat kekongruenan dua bangun datar.

1) Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Diketahui besar ∠ B = α, ∠ D = β, ∠ E = γ , ∠ G = θ. Karena ABCD = EFGH maka besar ∠ A, ∠ C, ∠ F, dan ∠ H dapat dicari sebagai berikut.

2) Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang

Diketahui panjang AD = z, CD = x, EF = y, FG = t. Karena ABCD = EFGH maka panjang AB, BC, GH, dan EH dapat dicari sebagai berikut.

b. Panjang Sisi dan Besar Sudut Dua Bangun Datar Sebangun

Perhatikan gambar berikut.

Apa yang dapat kalian simpulkan dari kedua gambar tersebut? Apakah kedua gambar tersebut sebangun? Ternyata kedua bangun tersebut memenuhi syarat kesebangunan dua bangun datar atau ABCD ~ EFGH, sehingga dipenuhi:

B. Segitiga-segitiga Kongruen

1. Syarat Dua Segitiga yang Kongruen

Tentunya kalian masih ingat tentang syarat dua bangun datar yang kongruen. Coba sebutkan. Lebih lanjut, kita akan mengaplikasikannya pada salah satu bangun datar yaitu segitiga. Sekarang coba katakan, apa yang disebut dengan segitiga itu? Bisakah kalian sebutkan benda-benda di sekitar kita yang berbentuk segitiga? Segitiga terangkai dari enam unsur yang terdiri dari tiga sisi dan tiga sudut.

Dari kegiatan yang kalian lakukan sebelumnya, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Mengapa demikian? Selanjutnya, dapat kita simpulkan bahwa dua segitiga, dikatakan kongruen jika dan hanya jika keduanya mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Jika demikian, unsur-unsur yang seletak saling menutup dengan sempurna. Jadi syarat dua segitiga yang kongruen adalah:

2. Sifat Dua Segitiga yang Kongruen

Dua segitiga kongruen dapat ditentukan dari ketiga sisi dan sudutnya.

a. Tiga Sisi (S - S - S)

Jika dua buah segitiga adalah kongruen maka ketiga sisi segitiga pertama sama panjang dengan ketiga sisi segitiga kedua (sisi-sisi seletak).

b. Dua Sisi dan Satu Sudut Apit (S - Sd - S)

Dua segitiga yang kongruen maka dua sisi segitiga pertama sama dengan dua sisi segitiga kedua, dan sudut yang diapitnya sama besar.

c. Dua Sudut dan Satu Sisi (Sd - S - Sd)

Dua segitiga yang kongruen maka dua buah sudut dari segitiga pertama sama dengan dua sudut pada segitiga kedua, dan sisi di antara kedua sudut tersebut sama panjang.

3. Perbandingan Sisi-sisi Dua Segitiga Kongruen

Jika dua buah segitiga kongruen, maka sisi-sisi yang berada di depan sudut yang sama besar mempunyai panjang sama. Perbandingan sisi-sisi segitiga pertama sama dengan perbandingan sisi-sisi segitiga yang kedua.

Misalkan

Diberikan: Δ KLM = Δ PQR dengan sifat (s-sd-s)

Diketahui: KM = PR, K = P, KL = PQ

Akibatnya LM = QR

∠ L = ∠ Q

∠ M = ∠ R

1. Syarat Dua Segitiga yang Sebangun

Perhatikan gambar berikut ini.

Δ ABC ~ Δ PQR sehingga berlaku pula syarat kesebangunan, yaitu:

2. Sifat Dua Segitiga yang Sebangun

a. Sisi-sisi yang Bersesuaian Sebanding

Untuk lebih memahami sifat-sifat dua segitiga yang sebangun, mari kita lakukan kegiatan berikut ini.

Dari kegiatan tersebut, ternyata pada dua buah segitiga yang sebangun memiliki tiga pasang sisi-sisi yang seletak dengan perbandingan yang sama atau faktor skala k.

Kesimpulan:

b. Sudut-sudut yang Seletak Sama Besar (Sd-Sd-Sd) Masih ingatkah kalian cara menggambar sudut-sudut istimewa? Sekarang, gambarlah Δ ABC dengan besar ∠ A = 60o dan ∠ C = 45o. Perhatikan gambar berikut.

Ternyata dari kegiatan tersebut kita dapat mengetahui bahwa sudut-sudut yang bersesuaian memiliki besar yang sama dan ketiga sisi yang bersesuaian sebanding. Artinya kedua segitiga itu sebangun. Jadi,

c. Satu Sudut Sama Besar dan Kedua Sisi yang Mengapitnya Sebanding (S-Sd-S)

Selain dua sifat segitiga di atas, kita dapat menentukan sifat ketiga yaitu jika salah satu sudutnya sama besar dan kedua sisi yang mengapitnya sebanding, maka kedua segitiga itu sebangun. Untuk memahaminya lakukanlah kegiatan berikut.

3. Perbandingan Sisi-sisi Dua Segitiga Sebangun

Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua segitiga yang sebangun adalah sebanding. Oleh karena itu jika diketahui faktor skala perbandingannya maka kita dapat mencari panjang sisi-sisi segitiga yang belum diketahui.

Perhatikan gambar berikut.

Δ ABC ~ Δ CDE

Dari gambar tersebut kita ketahui bahwa:

∠ DCE = ∠ ACB (berimpitan)

∠ CDE = ∠ CAB (sehadap)

∠ CED = ∠ CBA (sehadap)

Jadi ketiga sudut yang bersesuaian sama besar. Perhatikan perbandingan sisi-sisi yang seletak. Kita peroleh AC = AD + DC dan BC = BE + EC. Dengan sifat kesebangunan, maka sisi-sisi yang seletak sebanding.

Jadi diperoleh:

D. Penerapan Konsep Kesebangunan dalam Pemecahan Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali pemanfaatan konsep kesebangunan. Pembuatan miniatur suatu bangunan, penggambaran peta suatu daerah semuanya menggunakan konsep kesebangunan. Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.10

Sebuah model/rancangan suatu pesawat terbang berskala 1 : 300. Jika panjang pesawat tersebut sesungguhnya adalah 60 meter dan jarak antara kedua ujung sayapnya 18 meter, tentukan ukuran-ukuran tersebut pada model/rancangannya.

Penyelesaian:

Misal panjang pesawat pada rancangan = x

Jarak kedua ujung sayap = y

Jadi, panjang pesawat pada rancangan adalah 20 cm dan jarak kedua ujung sayap 6 cm.

KIR

PROPOSAL

PENDELEGASIAN PESERTA

LOMBA PENELITIAN  ILMIAH REMAJA KOTA SEMARANG

DI SMPN 37 SEMARANG

Selasa, 28 Juni 2011

YAYASAN USWATUN HASANAH

SMP ISLAM TERPADU USWATUN HASANAH SEMARANG

TAHUN 2010/2011

No.      :  010/SMP IT USHA/II/2011

Lamp.  : 1 (satu) bendel

Hal      : Pendelegasian Peserta Lomba Penelitian Ilmiah Remaja (LPIR)

  Tingkat Kota Semarang Tahun 2011

 

Yth.

Bapak Kepala SMP Islam Terpadu Uswatun Hasanah

Di

Semarang

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Segala puji bagi Allah, sholawat dan salam semoga selalu tercurah kepada junjungan Nabi Muhammad SAW, keluarga dan sahabat, amin.

Sehubungan dengan adanya surat edaran dari Dinas Pendidikan Kota Semarang Nomor 421.7/982 tentang penyelenggaraan Lomba Penelitian Ilmiah Remaja (LPIR) Ilmiah Tingkat Kota Semarang Tahun 2011, pada:

Hari                          : Selasa

Tanggal                    : 28 Juni 2011

Waktu                      : Pukul 08.00 WIB - selesai

Tempat                     : SMPN 37 Semarang  

                                   Jl. Sompok Semarang 

Kami selaku kesiswaan mengajukan permohonan persetujuan dan pemberian subsidi dari sekolah untuk pendelegasian tersebut.

Demikian surat permohonan ini kami sampaikan, atas perhatian dan kerjasama Bapak Kepala SMP Islam Terpadu Uswatun Hasanah kami ucapkan terima kasih.

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Semarang, 5 Maret 2011

                                                                              Kesiswaan

                                                                              Ike Apriyaningrum, S. Pd.

PROPOSAL

A.    NAMA PROPOSAL

Proposal ini bernama “Pendelegasian Peserta Lomba Penelitian Ilmiah Remaja (LPIR) Tingkat Kota Semarang Tahun 2011”

B.     PENDAHULUAN

Sesuai dengan agenda kerja bagian kesiswaan SMP Islam Terpadu Uswatun Hasanah tentang kegiatan pengembangan dan peningkatan bakat dan minat siswa dalam hal kemampuan akademik dan non akademik, serta edaran dari Dinas Pendidikan Kota Semarang tentang penyelenggaraan Lomba Penelitian Ilmiah Remaja (LPIR) Kota Semarang Tahun 2011, maka kami bermaksud mendelegasikan satu tim untuk mengikuti kegiatan tersebut.

C.    TUJUAN

1. Mencari kader berbakat yang dapat meningkatkan prestasi siswa SMP Islam Terpadu Uswatun Hasanah
2. Memberi kesempatan siswa untuk mendapatkan pengalaman di bidang kemampuan akademik
3. Memperkenalkan SMP Islam Terpadu Uswatun Hasanah kepada masyarakat luas

D.    WAKTU PELAKSANAAN

Adapun waktu dan tempat pelaksanaan kegiatan ini adalah:

Hari                          : Selasa

Tanggal                    : 28 Juni 2011

Waktu                      : Pukul 08.00 WIB - selesai

Tempat                     : SMPN 37 Semarang

                                            Jl. Sompok Semarang

E.     NAMA DELEGASI

Adapun nama-nama peserta yang kami delegasikan  untuk mengikuti kegiatan ini adalah sebagai berikut:

No.	Nama	Kelas
1.	Suryaningtyas Gusti Pratiwi	7 D

F.     NAMA PENDAMPING

Adapun pendamping kegiatan LPIR ini adalah : Ibu Putik Annisa A, S. Pd

G.    SUMBER DANA DAN ALOKASI DANA

Sumber dana pada kegiatan pendelegasian ini berasal dari Sekolah

Adapun alokasi dana kegiatan ini adalah sebagai berikut:

No.	Uraian	Debet	Kredit
1.	Dari sekolah	Rp 55.000
2.	Pendaftaran		Rp 20.000
3.	Makanan ringan peserta dan pendamping 2 x Rp 10.000		Rp 20.000
4.	Akomodasi Pendamping		Rp 15.000
Jumlah		Rp 55.000	Rp 55.000

H.    PENUTUP

Demikian proposal pendelegasian ini kami buat, atas partisipasi dari Bapak Kepala SMP Islam Terpadu Uswatun Hasanah kami ucapkan terima kasih.

                                                                                               

Semarang, 5 Maret 2011

Mengetahui dan menyetujui                                           

Kepala SMP IT Uswatun Hasanah                                  Kesiswaan

K. Ismail, S.Ag                                                             Ike Apriyaningrum, S. Pd.